一次関数の公式とグラフの書き方：高校数学の入門

一次関数は、高校数学における基礎であり、その理解は後の様々な分野、例えば二次関数、三角関数、微分積分、統計学などに繋がります。この記事では、一次関数の基本的な公式、グラフの書き方、そして重要な概念を丁寧に解説し、高校数学への入門をサポートします。

1. 一次関数とは

一次関数とは、一般的に y = ax + b という形で表される関数のことです。ここで、

y は従属変数（出力、目的変数）と呼ばれ、x の値によって変化します。
x は独立変数（入力、説明変数）と呼ばれ、自由に値を取ることができます。
a は傾き（変化の割合、勾配）と呼ばれ、x が 1 増加したときに y がどれだけ増加するかを表します。
b は切片（y切片）と呼ばれ、グラフが y 軸と交わる点の y 座標を表します。つまり、x = 0 のときの y の値です。

例:

y = 2x + 3 (傾き 2, 切片 3)
y = -x + 1 (傾き -1, 切片 1)
y = 0.5x - 2 (傾き 0.5, 切片 -2)
y = 5 (傾き 0, 切片 5) これは特別な一次関数であり、定数関数と呼ばれます。

一次関数の特徴:

グラフは直線になります。
x の値が一定量増加すると、y の値も一定量増加（または減少）します。この「一定量」が傾き a にあたります。

一次関数ではないもの:

y = x^2 (二次関数)
y = √x (平方根の関数)
y = 1/x (反比例の関数)
y = sin(x) (三角関数)

2. 一次関数の公式

一次関数を理解する上で重要な公式は、主に以下の3つです。

2.1 一般形:

y = ax + b

これは最も基本的な形で、傾き a と切片 b が分かれば、一次関数を定義できます。

2.2 傾きと1点を通る形:

y - y₁ = a(x - x₁)

これは、傾き a と、グラフが通る1点 (x₁, y₁) が分かっている場合に、一次関数を定義できる公式です。

導出:

ある点 (x, y) がこの直線上にあるとします。傾き a は、任意の2点間の y の変化量と x の変化量の比で表されます。したがって、点 (x₁, y₁) と点 (x, y) を用いると、

a = (y - y₁) / (x - x₁)

両辺に (x - x₁) を掛けると、

y - y₁ = a(x - x₁)

となります。

2.3 2点を通る形:

y - y₁ = ((y₂ - y₁) / (x₂ - x₁))(x - x₁)

これは、グラフが通る2点 (x₁, y₁) と (x₂, y₂) が分かっている場合に、一次関数を定義できる公式です。

導出:

この公式は、まず2点 (x₁, y₁) と (x₂, y₂) から傾き a を求め、その傾きと1点 (x₁, y₁) を用いて、傾きと1点を通る形の公式に代入することで導出できます。傾き a は、

a = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

となります。これを傾きと1点を通る形の公式 y - y₁ = a(x - x₁) に代入すると、

y - y₁ = ((y₂ - y₁) / (x₂ - x₁))(x - x₁)

となります。

公式の使い分け:

傾きと切片が分かっている場合: 一般形 y = ax + b
傾きとグラフが通る1点が分かっている場合: 傾きと1点を通る形 y - y₁ = a(x - x₁)
グラフが通る2点が分かっている場合: 2点を通る形 y - y₁ = ((y₂ - y₁) / (x₂ - x₁))(x - x₁)

3. 一次関数のグラフの書き方

一次関数のグラフは直線なので、基本的に2点が分かれば描画できます。ここでは、いくつかの方法を紹介します。

3.1 傾きと切片を利用した書き方:

切片 (y切片) を見つける: y = ax + b の b が y切片なので、y 軸上の点 (0, b) を見つけ、そこに点を打ちます。
傾きを利用してもう1点を見つける: 傾き a は、x が 1 増加したときの y の増加量を表します。したがって、y切片から x 軸方向に 1 進み、y 軸方向に a だけ進んだ点を見つけ、そこに点を打ちます。
2点を直線で結ぶ: 見つけた2点を定規で結び、直線を引きます。この直線が、一次関数のグラフになります。

例: y = 2x + 3

切片は 3 なので、y 軸上の点 (0, 3) に点を打ちます。
傾きは 2 なので、x 軸方向に 1 進み、y 軸方向に 2 進んだ点 (1, 5) に点を打ちます。
(0, 3) と (1, 5) を直線で結びます。

3.2 2点を利用した書き方:

x に適当な値を代入して y の値を計算する: 2つの異なる x の値を選び、それぞれに対応する y の値を計算します。これにより、グラフ上の2点の座標 (x₁, y₁) と (x₂, y₂) が得られます。
2点を座標平面上にプロットする: 計算した2点の座標を座標平面上にプロットします。
2点を直線で結ぶ: プロットした2点を定規で結び、直線を引きます。この直線が、一次関数のグラフになります。

例: y = -x + 1

x = 0 のとき、y = -0 + 1 = 1 なので、点 (0, 1)
x = 1 のとき、y = -1 + 1 = 0 なので、点 (1, 0)
(0, 1) と (1, 0) を直線で結びます。

3.3 切片とx切片を利用した書き方:

y切片を見つける: x = 0 を代入して y の値を求めます。これが y切片です。
x切片を見つける: y = 0 を代入して x の値を求めます。これが x切片です。
y切片とx切片を座標平面上にプロットする: 計算した y切片と x切片を座標平面上にプロットします。
2点を直線で結ぶ: プロットした2点を定規で結び、直線を引きます。この直線が、一次関数のグラフになります。

例: y = 2x - 4

x = 0 のとき、y = 2(0) - 4 = -4 なので、y切片は (0, -4)
y = 0 のとき、0 = 2x - 4 より x = 2 なので、x切片は (2, 0)
(0, -4) と (2, 0) を直線で結びます。

グラフを描く際の注意点:

定規を必ず使う: 手書きで直線を描くと、正確なグラフになりません。
軸の目盛りを均等にする: x 軸と y 軸の目盛りの間隔が異なると、グラフの傾きが実際と異なって見えます。
グラフを延長する: 特に指示がない限り、グラフは可能な限り延長して描きましょう。
関数名を明記する: グラフの近くに、関数名（例: y = 2x + 3）を記載しましょう。

4. 傾きと切片の意味

傾きと切片は、一次関数の性質を理解する上で非常に重要です。

4.1 傾き (a):

傾き a は、x が 1 増加したときの y の増加量を表します。

a > 0 の場合: x が増加すると y も増加します。グラフは右上がりになります。
a < 0 の場合: x が増加すると y は減少します。グラフは右下がりになります。
a = 0 の場合: x が変化しても y は変化しません。グラフは水平な直線になります（定数関数）。
|a| が大きいほど: 傾きが急になります。|a| が小さいほど、傾きは緩やかになります。

現実世界での例:

距離と時間の関係: 傾きは速度を表します。正の傾きは加速、負の傾きは減速を意味します。
商品の価格と需要の関係: 傾きは需要の価格弾力性を表します。負の傾きは、価格が上がると需要が減ることを意味します。

4.2 切片 (b):

切片 b は、x = 0 のときの y の値を表します。つまり、グラフが y 軸と交わる点の y 座標です。

現実世界での例:

初期費用: 例えば、あるサービスを利用する際の初期費用は、x = 0 のときの y の値として表されます。
基本的な需要: 商品の価格が 0 円でも需要がある場合、その需要量が y切片として表されます。

5. 一次関数の応用例

一次関数は、様々な問題を解決するために利用できます。

5.1 方程式を解く:

一次関数を利用して、一次方程式を解くことができます。例えば、2x + 3 = 7 という方程式を解く場合、y = 2x + 3 と y = 7 という2つの一次関数のグラフを描き、その交点の x 座標を求めることで、方程式の解を得ることができます。

5.2 連立方程式を解く:

2つの一次関数の式を連立方程式として解くことで、2つのグラフの交点の座標を求めることができます。この交点の座標は、連立方程式の解となります。

5.3 文章問題を解く:

文章問題を一次関数でモデル化することで、問題を解決できます。例えば、

「A地点からB地点まで、時速50kmで車を走らせると2時間かかる。A地点からB地点までの距離はいくらか？」

この場合、距離を y、時間を x とすると、y = 50x という一次関数で表すことができます。x = 2 を代入すると、y = 100 となり、A地点からB地点までの距離は100kmであることがわかります。

5.4 比例・反比例との関係:

比例: y = ax (切片が0の一次関数)
反比例: y = a/x (一次関数ではない)

比例は一次関数の特別な場合であり、反比例は一次関数ではありません。

6. まとめ

一次関数は、数学の基礎であり、様々な分野に応用できます。この記事では、一次関数の公式、グラフの書き方、傾きと切片の意味、そして応用例について解説しました。一次関数を理解することで、より高度な数学の概念を理解しやすくなります。この記事が、高校数学への入門の一助となれば幸いです。

練習問題:

以下の一次関数のグラフを描きなさい。
- y = 3x - 1
- y = -2x + 4
- y = 0.5x + 2
傾きが 2 で、点 (1, 3) を通る一次関数の式を求めなさい。
2点 (2, 5) と (4, 9) を通る一次関数の式を求めなさい。
時速 60km で走る車の走行距離を、時間 x の一次関数として表しなさい。
ある商品の価格が 100 円のとき、需要は 50 個である。価格が 120 円に上がると、需要は 40 個に減る。この商品の需要を、価格 x の一次関数として表しなさい。

これらの練習問題を通して、一次関数の理解を深めてください。